AstronomieAntwoorden
Vergelijking van Kepler

\( \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\d}{d} \DeclareMathOperator{\artanh}{artanh} \DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \)

1. De Vergelijking van Kepler

De Vergelijking van Kepler is een vergelijking die voor hemellichamen in een ellipsbanen onder de invloed van zwaartekracht het verband tussen de tijd en de plaats aangeeft. Er zijn soortgelijke vergelijkingen voor paraboolbanen en voor hyperboolbanen, die we hier voor het gemak ook vergelijkingen van Kepler kunt noemen.

Met de vergelijking van Kepler kun je de tijd uitrekenen waarop een bepaalde plaats bereikt wordt. Als je de andere kant op wil (dus uitrekenen waar het voorwerp is op een bepaalde tijd), dan gaat dat voor ellipsbanen en hyperboolbanen helaas niet als een berekening met een klein aantal waarden van bekende functies, maar alleen door eerst een oplossing te gokken en dan de echte oplossing steeds dichter te benaderen tot hij goed genoeg is.

Met behulp van de methoden die hieronder beschreven zijn kun je \( τ = \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) uitrekenen, waarin \( ν \) de ware anomalie is, die de positie van de planeet (of ander hemellichaam) in zijn baan rond de Zon (of ander hemellichaam) aangeeft. De ware anomalie is de hoek tussen de richting van het perifocus en de richting van de planeet, gezien vanuit het brandpunt van de baan.

1.1. Ellipsbanen

Voor een ellipsbaan is de excentriciteit \( e \) groter of gelijk aan 0 en kleiner dan 1. De middelbare anomalie \( M \), excentrische anomalie \( E \) en ware anomalie \( ν \) (griekse letter 'nu') van een voorwerp in een ellipsbaan worden bepaald door

\begin{align} M & = t\sqrt{\frac{Γ}{a^3}} \\ M & = E - e \sin(E) \label{eq:ekepler} \\ τ = \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) & = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \tan\left( \frac{1}{2}E \right) \label{eq:eEtoν} \end{align}

waar \( a \) de afmeting van de halve lange as van de baan is, \( Γ \) de zwaartekrachtparameter van het systeem, \( t \) de tijd sinds de (laatste) perifocusdoorgang, \( e \) de excentriciteit van de baan, en alle hoeken in radialen gemeten zijn (2π radialen zijn gelijk aan 360 graden). \( M \) neemt toe met een constante snelheid (met 2π radialen per baanperiode) en is dus een maat voor de tijd. \( ν \) is de hoekafstand van het voorwerp tot zijn perfocus (gezien vanuit het brandpunt).

Vergelijking \eqref{eq:ekepler} is de Vergelijking van Kepler (voor ellipsbanen). Het probleem is dat we \( E \) willen weten als we \( M \) en \( e \) kennen, en die vergelijking is niet om te schrijven naar een vorm \( E = … \) waarin de rechterkant een eindige verzameling van termen bevat waar \( E \) zelf niet in voorkomt.

1.2. Paraboolbanen

Voor een paraboolbaan is de excentriciteit \( e \) precies gelijk aan 1. Voor zo'n baan is wel een methode om direct de positie op een bepaald moment te vinden, zonder benaderingen:

\begin{align} W & = t\sqrt{\frac{9Γ}{8q^3}} \label{eq:pkepler} \\ u & = \left( W + \sqrt{W^2 + 1} \right)^{1/3} \\ \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) & = u - \frac{1}{u} \end{align}

1.3. Hyperboolbanen

Voor een hyperboolbaan is de excentriciteit \( e \) groter dan 1.

\begin{align} M & = t\sqrt{\frac{Γ}{|a|^3}} \\ M & = e \sinh E - E \label{eq:hkepler} \\ \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) & = \sqrt{\frac{e + 1}{e - 1}} \tanh\left( \frac{1}{2}E \right) \label{eq:hEtoν} \end{align}

Vergelijking \eqref{eq:hkepler} heeft hetzelfde probleem als vergelijking \eqref{eq:ekepler}.

2. Oplossingsmethode

Om de oplossing te vinden kun je de volgende methoden gebruiken, afhankelijk van het type baan.

2.1. Cirkel- en ellipsbanen

Als de excentriciteit \( e \) kleiner is dan 1, dan is de baan een cirkelbaan (\( e = 0 \)) of een ellipsbaan. De methode is dan als volgt, voor de middelbare anomalie \( M \) gemeten in radialen:

1. Vervang \( M \) zo mogelijk door een gelijkwaardige kleine waarde die zeker tussen −2π en +2π, maar liefst tussen −π en +π ligt, door er het juiste veelvoud van 2π bij te tellen of af te trekken. Hoe je dit kunt doen hangt erg af van de mogelijkheden die je rekenmachine of computerprogrammataal geeft.

   \begin{equation} M ← M \bmod 2π \end{equation}

2. Bereken de beginschatting \( E_1 \) voor de oplossing.

   \begin{align} s_1 & = \left| \frac{M}{δ} \right| \\ s_2 & = (6|M|)^{1/3} \\ E_1 & = \sgn(M) \min(s_1, s_2) \end{align}

   Als je niet zo moeilijk wilt doen, dan kun je ook altijd nemen

   \begin{equation} E_1 = (6M)^{1/3} \end{equation}

3. Bereken uit de vorige schatting een correctie:

   \begin{equation} d_i = E_i + \frac{M + e \sin(E_i) - E_i}{1 - e \cos(E_i)} \end{equation}

4. Als \( d_i \) precies gelijk is aan 0, dan heb je \( E \) gevonden. Stop maar.

5. Als \( |d_i| \) groter is dan \( |d_{i-1}| \) en bovendien kleiner is dan \( |ε E_i| \), dan kun je geen betere waarde voor \( E \) vinden. Stop maar.

6. Als \( |d_i| \) groter is dan \( |d_{i-1}| \) en \( i \) is groter dan \( n \), geef dan op. De huidige methode (en in het bijzonder de beginschatting) is niet geschikt om voor deze \( M \) en \( e \) de waarde van \( E \) te vinden. (Vanwege de goedgekozen beginschatting zou je hier nooit moeten komen, maar je weet maar nooit.)

7. Als je nog niet gestopt bent, ga dan weer naar stap 3.

De waarde van \( ε \) moet passen bij de relatieve precisie waarmee je kunt rekenen. Als je rekenapparaat of computerprogramma nog net verschil ziet tussen 1 en \( 1 + ε_0 \) (dus als je \( ε_0 \) optelt bij 1, en daarna van het resultaat weer 1 aftrekt, dan houdt je iets over dat niet 0 is, maar als je datzelfde doet met een waarde kleiner dan \( ε_0 \) dan houdt je wel 0 over), dan lijkt \( ε = \sqrt{ε_0} \) een redelijke waarde. Ik gebruikte 10⁻⁷, in een computerprogramma dat rekende met dubbele-precisie-zwevendekommagetallen.

Een redelijke waarde voor \( n \) is 10.

De laatste \( E_i \) is dan je beste schatting voor \( E \). Gebruik vergelijking \eqref{eq:eEtoν} om \( \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) uit te rekenen.

2.2. Paraboolbanen

Als de excentriciteit \( e \) gelijk is aan 1, dan is de baan een paraboolbaan. Gebruik dan vergelijkingen \eqref{eq:pkepler}ff om \( \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) uit te rekenen.

2.3. Hyperboolbanen

Als de excentriciteit \( e \) groter is dan 1, dan is de baan een hyperboolbaan. De methode voor hyperboolbanen is in veel maar niet alle opzichten hetzelfde als voor ellipsbanen.

1. Vervang \( M \) niet door een kleinere waarde (wat voor ellipsbanen wel werd gevraagd).

2. Bereken de beginschatting \( E_1 \) voor de oplossing. Als \( |M| \lt 3e \) dan

   \begin{align} s_1 & = \left| \frac{M}{δ} \right| \\ s_2 & = (6|M|)^{1/3} \\ E_1 & = \sgn(M) \min(s_1, s_2) \end{align}

   En anders

   \begin{equation} E_1 = \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) \end{equation}

   Als je niet zo moeilijk wilt doen, dan kun je ook altijd nemen

   \begin{equation} E_1 = (6M)^{1/3} \end{equation}

3. Bereken uit de vorige schatting een correctie:

   \begin{align} N_i & = \frac{M + E_i}{e \cosh(E_i)} - \tanh(E_i) \\ D_i & = 1 - \frac{1}{e \cosh(E_i)} \\ d_i & = \frac{N_i}{D_i} \end{align}

4. De stopvoorwaarden zijn gelijk aan die voor ellipsbanen. Als \( d_i \) precies gelijk is aan 0, dan heb je \( E \) gevonden. Stop maar.

5. Als \( |d_i| \) groter is dan \( |d_{i-1}| \) en bovendien kleiner is dan \( |ε E_i| \), dan kun je geen betere waarde voor \( E \) vinden. Stop maar.

6. Als \( |d_i| \) groter is dan \( |d_{i-1}| \) en \( i \) is groter dan \( n \), geef dan op. De huidige methode (en in het bijzonder de beginschatting) is niet geschikt om voor deze \( M \) en \( e \) de waarde van \( E \) te vinden. (Vanwege de goedgekozen beginschatting zou je hier nooit moeten komen, maar je weet maar nooit.)

7. Als je nog niet gestopt bent, ga dan weer naar stap 3.

De waarden voor \( ε \) en \( n \) zijn gelijk aan die voor ellipsbanen.

De laatste \( E_i \) is dan je beste schatting voor \( E \). Gebruik vergelijking \eqref{eq:hEtoν} om \( \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) uit te rekenen.

3. Afstand en coördinaten

Gegeven \( τ = \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \), de excentriciteit \( e \), en de perifocusafstand \( q = a |1 - e| \) tussen brandpunt en perifocus is de afstand \( r \) tussen brandpunt en hemellichaam voor alle cirkel-, ellips-, parabool- en hyperboolbanen:

\begin{align} ρ & = \frac{1 + e}{1 + e + (1 - e)τ^2} \\ r & = qρ (1 + τ^2) \notag \\ & = q \frac{(1 + e) (1 + τ^2)}{1 + e + (1 - e) τ^2} \\ & = q \frac{1 + e}{1 + e \cos ν} \end{align}

Voor ellipsbanen:

\begin{equation} r = q \frac{1 - e \cos E}{1 - e} \end{equation}

Voor paraboolbanen:

\begin{align} r & = q \frac{2}{1 + \cos ν} \notag \\ & = q (1 + τ^2) \end{align}

Voor hyperboolbanen:

\begin{equation} r = q\frac{e \cosh(E) - 1}{e - 1} \end{equation}

Als je \( τ = \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) kent, dan kun je daaruit \( \sin(ν) \) en \( \cos(ν) \) uitrekenen:

\begin{align} \sin(ν) & = \frac{2τ}{1 + τ^2} \\ \cos(ν) & = \frac{1 - τ^2}{1 + τ^2} \end{align}

en daarmee de coördinaten van het hemellichaam (in het baanvlak):

\begin{align} x & = r \cos(ν) = qρ (1 - τ^2) = q \frac{(1 + e) (1 - τ^2)}{1 + e + (1 - e) τ^2} \label{eq:coords} \\ y & = r \sin(ν) = 2qρτ = q \frac{2 (1 + e) τ}{1 + e + (1 - e) τ^2} \end{align}

4. Bijna-paraboolbanen

Voor een paraboolbaan is \( e = 1 \) dus \( δ = 0 \). Voor een bijna-paraboolbaan (\( |δ| \ll 1 \)) geldt

\begin{align} ρ & ≈ 1 + \frac{1}{2}δτ^2 \\ r & ≈ q\left( 1 + τ^2 + \frac{1}{2}δτ^2 (1 + τ^2) \right) \\ x & ≈ q\left( 1 - τ^2 + \frac{1}{2}δτ^2 (1 - τ^2) \right) \\ y & ≈ 2qτ \left( 1 + \frac{1}{2}δτ^2 \right) \end{align}

Ik definieer de perifocale anomalie \( m \) als volgt:

\begin{equation} m = \frac{M}{|δ|^{3/2}} \end{equation}

De maximale perifocale anomalie voor een ellipsbaan is \( π/|δ|^{3/2} \).

Voor paraboolbanen geldt

\begin{align} W & = \frac{3m}{2^{3/2}} \\ u & = (W + \sqrt{W^2 + 1})^{1/3} \\ τ & = u - \frac{1}{u} \\ m \ll 1 & ⇒ τ ≈ \frac{m}{\sqrt{2}} \\ m \gg 1 & ⇒ τ ≈ \frac{(6m)^{1/3}}{\sqrt{2}} \end{align}

Voor cirkel-, ellips- en hyperboolbanen, met \( q = a|1 - e| = a|δ| \), geldt

\begin{align} M & = t \sqrt{\frac{Γ}{a^3}} = t \sqrt{\frac{Γ|δ|^3}{q^3}} \\ m & = t \sqrt{\frac{Γ}{q^3}} \end{align}

dus de perifocale anomalie \( m \) hangt voor bijna-paraboolbanen met vaste perifocusafstand \( q \) niet af van hoe weinig de vorm afwijkt van de paraboolvorm (dus hoe klein \( δ \) is), terwijl de middelbare anomalie \( M \) juist heel sterk afhangt van hoe klein \( δ \) is.

Voor een bijna-paraboolbaan (met \( |δ| \ll 1 \)) geldt:

\begin{align} |m| \ll 1 & ⇒ τ ≈ \frac{m}{\sqrt{2}} \\ 1 \ll |m| \ll \frac{1}{|δ|^{3/2}} & ⇒ τ ≈ \frac{(6m)^{1/3}}{\sqrt{2}} \\ |m| \gg \frac{1}{|δ|^{3/2}} & ⇒ τ ≈ \sgn(m)\sqrt{\frac{2}{|δ|}} \left( 1 - \frac{1}{|m||δ|^{3/2}} \right) \end{align}

dus voor \( |m| \ll |δ|^{−3/2} \) gedraagt een hemellichaam in zo'n baan zich alsof die in een paraboolbaan zit.

5. En nu met meer detail

5.1. Enige Specifieke Oplossingen

De volgende tabellen tonen een aantal oplossingen van de vergelijking van Kepler, die we verderop gebruiken om benaderingsformules na te kijken. Alle hoeken zijn gegeven in radialen. Een radiaal is 180/π ≈ 57,2957795131 graden, en

\[ τ = \tan\left( \frac{1}{2} ν \right) \]

Voor gevallen waar \( e \) dicht bij 1 ligt zijn de volgende definities handig:

\begin{align} δ & ≡ e - 1 \\ m & ≡ \frac{M}{|δ|^{3/2}} \label{eq:m} \end{align}

\( m \) is de perifocale anomalie.

Tabel 1 is voor een anomalie van 0,0001 radialen.

Tabel 1: Vergelijking van Kepler: oplossingen voor 0,0001 radiaal

 # 

Tabel 2 is voor een anomalie van 1 radiaal.

Tabel 2: Vergelijking van Kepler: oplossingen voor 1 radiaal

 # 

Tabel 3 is voor een anomalie van 10000 radialen. Dat is alleen relevant voor parabolische en hyperbolische banen.

Tabel 3: Vergelijking van Kepler: oplossingen voor 10000 radialen

 # 

In bovenstaande tabellen is te zien dat in de buurt van \( e = 1 \) de waarden van \( E \) en \( τ \) veel sterker variëren met \( e \) voor vaste \( M \) dan voor vaste \( m \). Een paraboolbaan (met \( e = 1 \)) is zelfs helemaal niet te beschrijven met \( M \) of \( E \) (want die zijn dan precies gelijk aan 0), maar wel met \( m \).

5.2. Benaderingen voor Uiterste Gevallen

In uiterste gevallen, als \( M \) of \( e \) of een daarmee verbonden waarde heel klein is of juist heel groot is, dan kun je redelijke benaderingen vinden voor \( E \).

• Als \( |M| ≪ \sqrt{\frac{|δ|^3}{e}} \) en ook \( |M| ≪ |δ| \), dus de middelbare anomalie is heel klein, dan is

  \begin{equation} E ≈ \frac{M}{|δ|} \label{eq:E1} \end{equation}

  Bijvoorbeeld, als \( M = 0,0001 \) en \( e = 0,01 \), dan is \( M ≪ \sqrt{\frac{|δ|^3}{e}} ≈ 0,001 \) (al is de marge niet erg groot) en \( M ≪ δ ≈ 0,99 \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

  \[ E ≈ \frac{M}{|δ|} = \frac{0,001}{0,99} ≈ 0,000101010101 \]

  gelijk aan de \( E \) op regel 2 in tabel 1.

  • Als \( M \) heel klein is en ook \( e ≪ 1 \), dus de baan is bijna cirkelvormig, dan is

    \begin{align} τ & ≈ \frac{1}{2} M ( 1 + 2e ) \\ ν & ≈ (1 + 2e) M \end{align}

    Bijvoorbeeld, Als \( M = 0,0001 \) en \( e = 0,01 \), dan voldoen we aan de eisen om de benadering te gebruiken (zie hierboven), dus

    \[ τ ≈ \frac{1}{2} M (1 + 2e) = 0,5 × 0,0001 × 1,02 ≈ 0,00005100 \]

    vergeleken met 0,00005101 in de tabel, en

    \[ ν ≈ (1 + 2e) M = 1,02 × 0,0001 = 0,000102 \]

    vergeleken met 0,00010203 uit de tabel.

  • Als \( M \) heel klein is en ook \( |δ| ≪ 1 \), dus de baan is bijna parabolisch, dan is

    \begin{align} τ & ≈ \frac{M}{\sqrt{2|δ|^3}} = \frac{m}{\sqrt{2}} \\ ν & ≈ \frac{M\sqrt{2}}{\sqrt{|δ|^3}} = m\sqrt{2} \end{align}

    Bijvoorbeeld, als \( M = 0,0001 \) en \( e = 0,99 \), dan is \( M ≪ \sqrt{\frac{|δ|^3}{e}} ≈ 10^{−6} \) en \( M ≪ |δ| = 0,01 \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

    \[ τ ≈ \frac{M}{\sqrt{2|δ|^3}} = \frac{0,0001}{\sqrt{2×0,01^3}} ≈ 0,0707 \]

    vergeleken met 0,0704 op regel 4 in tabel 1, en

    \[ ν ≈ \frac{0,0001 × \sqrt{2}}{0,01^3} = 0,1414 \]

    vergeleken met 0,1406 in de tabel.

• Als \( |δ|^{3/2} ≪ M ≪ 1 \) en ook \( |δ| ≪ 1 \), dus de middelbare anomalie is middelgroot en de baan is bijna parabolisch, dan is

  \begin{equation} E ≈ (6M)^{1/3} \label{eq:E2} \end{equation}

  en

  \begin{align} τ & ≈ \frac{(6M)^{1/3}}{\sqrt{2|δ|}} = \frac{(6m)^{1/3}}{\sqrt{2}} \\ ν & ≈ \sgn(M) \left( π - \frac{\sqrt{8|δ|}}{(6M)^{1/3}} \right) = \sgn(m) \left( π - \frac{\sqrt{8}}{(6m)^{1/3}} \right) \end{align}

  Bijvoorbeeld, als \( M = 0,0001 \) en \( e = 0,9999 \), dan is \( 10^{−6} = |δ|^{3/2} ≪ M ≪ 1 \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

  \[ E ≈ (6M)^{1/3} = 0,0006^{1/3} ≈ 0,0843 \]

  en

  \[ τ ≈ \frac{(6M)^{1/3}}{\sqrt{2|δ|}} ≈ \frac{(6×0,0001)^{1/3}}{\sqrt{2×0,0001}} ≈ 5,96 \]

  vergeleken met 5,80 op regel 6 in tabel 1. Dan is

  \[ ν ≈ \sgn(0,0001) × \left( π - \frac{\sqrt{8×0,0001}}{(6×0,0001)^{1/3}} \right) ≈ π - 0,3353 ≈ 2,806 \]

  vergeleken met 2,800 in de tabel.

• Als \( M ≫ e \gt 1 \), dus het is een hyperboolbaan en de middelbare anomalie is heel groot, dan is

  \begin{equation} E ≈ \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) \label{eq:E3} \end{equation}

  Bijvoorbeeld, als \( M = 10000 \) en \( e = 100 \) dan is \( M ≫ e \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

  \[ E ≈ \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) = \sgn(10000)×\log\left( 1 + \frac{2×10000}{100} \right) ≈ 5,303 \]

  vergeleken met 5,299 op regel 5 in tabel 3.

  • Als ook \( |δ| ≪ 1 \), dus de baan is bijna parabolisch, dan is

    \begin{align} τ & ≈ \sgn(M) \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \left(1 - \frac{1}{|M|} \right) \\ ν & ≈ \sgn(M) \left( π - \frac{\sqrt{2|δ|}|M|}{|M| - 1} \right) \end{align}

    Bijvoorbeeld, als \( M = 10000 \) en \( e = 1,01 \) dan is \( M ≫ e \) en \( |δ| = 0,01 ≪ 1 \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

    \[ τ ≈ \sgn(M) \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \left( 1 - \frac{1}{|M|} \right) = \sgn(10000)×\sqrt{\frac{2}{0,01}}×\left( 1 - \frac{1}{10000} \right) ≈ 14,14 \]

    vergeleken met 14,18 op regel 3 in tabel 3. En

    \[ ν ≈ \sgn(10000) × \left( π - \frac{\sqrt{2×0,01} × 10000}{9999} \right) ≈ π - 0,1414 ≈ 3,0002 \]

    vergeleken met 3,0007 in de tabel.

  • Als de excentriciteit heel groot is en ook \( e ≫ 1 \), dus de baan is sterk hyperbolisch, dan is

    \begin{align} τ & ≈ \sgn(M) \left( 1 + \frac{1}{e} - \frac{e}{|M|} \right) \\ ν_∞ & = \arctan\left( \sqrt{\frac{e + 1}{e - 1}} \right) = \arccos\left( -\frac{1}{e} \right) \\ ν & ≈ ν_∞ \sgn(M) - \frac{\sqrt{e^2 - 1}}{M} \end{align}

    Bijvoorbeeld, als \( M = 10000 \) en \( e = 100 \) dan is \( |M| ≫ e \), dus aan de eisen om de benadering te gebruiken is voldaan, dus

    \begin{align*} τ & ≈ \sgn(M) \left( 1 + \frac{1}{e} - \frac{e + 1}{|M|} \right) \\ & = \sgn(10000)×\left( 1 + \frac{1}{100} - \frac{101}{10000} \right) \\ & ≈ 0,9999 \end{align*}

    vergeleken met 1,000006 op regel 5 in tabel 3. En

    \begin{align*} ν_∞ & = \arccos\left( -\frac{1}{e} \right) = \arccos\left( -\frac{1}{100} \right) ≈ 1,580796 \\ ν & ≈ ν_∞ - \frac{\sqrt{100^2 - 1}}{10000} ≈ ν_∞ - 0,0099995 ≈ 1,570797 \end{align*}

    vergeleken met 1,570802 in de tabel.

5.3. Uitrekenen van de plaats

Met de vergelijking van Kepler kun je de tijd (\( t \) of \( M \)) uitrekenen als je de plaats in de baan (\( ν \) of \( E \)) en de vorm van de baan (\( e \)) kent, maar niet gemakkelijk de plaats uitrekenen als je de tijd en de vorm kent ― behalve voor een paraboolbaan. Om de plaats uit de tijd en de vorm te berekenen heb je twee dingen nodig:

Je herhaalt dan de tweede stap met steeds de volgende schatting, tot de uitkomst niet meer verandert: dan heb je de oplossing gevonden met de precisie van je berekeningen.

Hoe snel je de plaats vindt hangt er vanaf hoe goed de beginschatting is, hoeveel beter elke vervolgschatting is, en hoe weining werk het is om de beginschatting en de vervolgschattingen uit te rekenen.

Er zijn veel verschillende formules verzonnen voor de beginschatting en de vervolgschattingen, meestal gebaseerd op het gedrag van de oplossingen van de vergelijking van Kepler.

5.3.1. Eerstegraadsherhaling

Stel dat we de vergelijking van Kepler kunnen schrijven als

\begin{equation} M = f(E) \label{eq:f} \end{equation}

en kunnen herschrijven tot

\begin{equation} E = g(M,E) \label{eq:g} \end{equation}

voor een toepasselijke functie \( g \). Dan zouden we een benaderingsformule kunnen opstellen:

\begin{equation} E_{i+1} = g(M,E_i) \end{equation}

dus

\begin{align} E_2 & = g(M,E_1) \\ E_3 & = g(M,E_2) \\ E_4 & = g(M,E_3) \end{align}

en zo verder. Komen we dan steeds dichter bij de oplossing?

Het verschil tussen de schatting \( E_i \) en de echte waarde \( E \) is

\begin{equation} d_i ≡ E_i - E \end{equation}

Dan is

\begin{equation} E_{i+1} = g(M,E_i) = g(M,E + d_i) ≈ g(M,E) + g'(M,E) d_i \end{equation}

waarin \( g' = \pdd{g}{E} \) de afgeleide van \( g \) naar \( E \) is, en waarbij de laatste ongeveer-gelijkheid geldt als \( d_i \) heel klein is, dus als de benadering al dicht in de buurt van de oplossing is. Dan is dus

\begin{equation} d_{i+1} ≈ g'(M,E) d_i \end{equation}

dus de benaderingen worden alleen beter als \( |g'(M,E)| \lt 1 \), en de oplossing wordt alleen snel gevonden als \( |g'(M,E)| ≪ 1 \).

5.3.2. Tweedegraadsherhaling: Newton-Raphson

Met de methode van Newton-Raphson komen we verder. Uit formule \eqref{eq:f} volgt

\begin{equation} \d‍ M = f'(E) \d ‍E \end{equation}

waarin \( f' \) de afgeleide van \( f \) naar \( E \) is. Voor kleine afwijkingen geldt dus

\begin{equation} ∆M ≈ f'(E) ∆E \end{equation}

We weten

\begin{equation} ∆M = f(E_i) - M \end{equation}

dus

\begin{equation} ∆E ≈ \frac{∆M}{f'(E_i)} ≈ \frac{f(E_i) - M}{f'(E_i)} \end{equation}

dus de volgende benadering is

\begin{equation} E_{i+1} = E_i + \frac{M - f(E_i)}{f'(E_i)} \end{equation}

Hoeveel beter is die dan de vorige? We hebben

\begin{align} E + d_{i+1} & = E + d_i + \frac{M - f(E + d_i)}{f'(E + d_i)} \notag \\ & ≈ E + \frac{1}{2} d_i^2 \frac{f''(E)}{f'(E)} \end{align}

waar we gebruikten dat \( M = f(E) \) en hebben aangenomen dat \( d_i f'''(E) ≪ f''(E) \) en \( d_i f''(E) ≪ f'(E) \).

dus

\begin{equation} d_{i+1} ≈ \frac{1}{2} d_i^2 \frac{f''(E)}{f'(E)} \end{equation}

dus zal de laatste schatting beter zijn dan de vorige als \( |d_{i+1}| \lt |d_i| \) ofwel als \( |d_i f''(E)| \lt 2|f'(E)| \) ofwel \( |d_i| \lt β ≡ 2\left| \frac{f'(E)}{f''(E)} \right| \). De grens aangegeven door \( β \) is niet scherp (want afgeleid door sommige termen te verwaarlozen), en bovendien kennen we aan het begin \( E \) nog niet en kunnen we \( β \) alleen schatten met behulp van \( E_1 \), die zelf ook al niet nauwkeurig is. Dus als \( |d_i| \) niet ruim kleiner is dan \( β \) dan is dat misschien nog steeds te ver weg van de oplossing om die oplossing snel te vinden. Maar als \( |d_i| ≪ β \) dan zal het aantal goede cijfers achter de komma elke keer ongeveer verdubbelen.

Deze methode vergt meer rekenwerk per herhaling dan de vorige, maar neemt veel minder herhalingen dan de vorige om het eindresultaat te vinden.

5.3.3. Stoppen

Een goede beginschatting is belangrijk, maar een goede stopvoorwaarde ook. Hoe weet je dat je de oplossing gevonden hebt, of er in ieder geval niet meer dichter bij kunt komen?

Het liefst heb je natuurlijk dat de correctie die je uitrekent (gebaseerd op de vorige schatting) precies nul is, want dan kun je de oplossing niet meer nauwkeuriger maken.

Maar soms komt je niet precies uit op een correctie van nul, maar in een kringloop van elkaar opvolgende hele kleine correcties, bijvoorbeeld eerst een kleine positieve correctie, en daarna een hele kleine negatieve correctie, en dan weer een kleine positieve, zonder dat je ooit precies op nul komt. Om daar uit te komen kun je de regel aanhouden dat je moet stoppen als de volgende correctie groter (verder van 0) is dan de vorige correctie.

Maar ook dat werkt niet altijd. Als de beginschatting ver van de goede oplossing is dan kunnen de correcties in het begin groot zijn en zelfs af en toe groter zijn dan de vorige correctie, totdat je dicht genoeg in de buurt van de oplossing bent gekomen, en pas dan worden de correcties snel steeds kleiner. Als je meteen vanaf het begin de regel volgt dat je stopt als de volgende correctie groter is dan de vorige, dan kan het zijn dat je te vroeg stopt, als de schatting nog ver van de goede oplossing is.

Al met al houd ik de volgende regels aan:

1. Als de nieuwe correctie precies nul is, stop dan.
2. Als de nieuwe correctie groter is dan de vorige correctie en bovendien kleiner is dan \( εE_i \), stop dan. We zijn dichtbij de goede oplossing maar kunnen daar waarschijnlijk niet precies bijkomen.
3. Als de nieuwe correctie groter is dan de vorige correctie en we hebben al meer dan \( n \) correcties berekend, stop dan en zeg dat we geen oplossing kunnen vinden binnen een redelijke termijn. We zijn waarschijnlijk nog ver van de goede oplossing en zijn er niet zeker van dat we daar ooit dichtbij zouden komen.
4. Anders: bereken weer een nieuwe correctie.

Voor \( ε \) en \( n \) moet je toepasselijke waarden kiezen. Ik koos voor \( ε ≈ 10^{−7} \) en voor \( n = 10 \).

5.4. Ellipsbanen

Voor ellipsbanen geldt

\[ M = E - e \sin E \]

dus voor de eerstegraadsbenadering

\begin{align} g(M,E) & = M + e \sin E \\ g'(M,E) & = e \cos E \end{align}

dus de laatste schatting zal beter zijn dan de vorige als \( |e \cos E| \lt 1 \), wat voor ellipsbanen (met \( e \lt 1 \)) altijd zo is. Echter, als \( e ≈ 1 \) en \( E ≈ 0 \) dan is de verbetering per stap maar heel weinig, dus dan neemt het heel veel stappen voordat je in de buurt van de oplossing komt. Een hele ruwe schatting van dat aantal stappen is

\[ N ≈ \frac{1}{1 - |g'(M,E)|} = \frac{1}{1 - |e \cos E|} \]

wat voor \( e = 1 + δ ≈ 1 \) en \( |E| ≪ 1 \) ongeveer gelijk is aan \( \frac{1}{|δ|} \) wat voor bijna-parabolische banen een heel groot getal is.

Voor de tweedegraadsbenadering is

\begin{align} f(E) & = E - e \sin E \\ f'(E) & = 1 - e \cos E \\ f''(E) & = e \sin E \end{align}

en

\begin{equation} E_{i+1} = E_i + \frac{M + e \sin(E_i) - E_i}{1 - e \cos(E_i)} \end{equation}

\begin{equation} β = \left| \frac{2(1 - e \cos E)}{e \sin E} \right| \end{equation}

\( E_{i+1} \) zal beter zijn dan \( E_i \) als \( |d_i| \lt β \). De kleinste waarde van \( β \) wordt bereikt als \( \cos(E) = e \); dan is

\[ β = β_{\text{min}} = 2\frac{\sqrt{1 - e^2}}{e} \]

Voor bijna-parabolische banen met \( e = 1 + δ \) en \( |δ| ≪ 1 \) is \( β_{\text{min}} ≈ \sqrt{2|δ|} \) voor \( |E| ≈ \sqrt{2|δ|} \) dus dan moet de beginschatting al erg goed zijn om de oplossing snel te kunnen vinden.

Ik heb verschillende beginschattingen \( E_1 \) geprobeerd, voornamelijk gebaseerd op bovenstaande studie van uiterste benaderingsformules.

In alle gevallen verving ik eerst \( M \) door \( M \bmod 2π \), zodat \( M \) tussen 0 en 2π radialen kwam te liggen. In een ellipsbaan herhaalt alles zich weer als de middelbare anomalie \( M \) 2π groter is geworden, dus bij \( M + 2π \) hoort dezelfde plek als bij \( M \), maar sommige van de beginschattingen hebben dat niet automatisch. Door eerst \( M \) tussen 0 en 2π te dwingen krijgen we dat wel.

De formules zijn symmetrisch rond \( M = 0 \), dus de berekeningen voor \( -M \) zijn even makkelijk of moeilijk als de berekeningen voor \( M \), dus is het waarschijnlijk beter om \( M \) tussen −π en +π te houden dan tussen 0 en 2π, maar het is interessant om te zien hoe groot dat effect in de praktijk is: Hoeveel meer werk is het om de berekeningen te doen voor \( π ≤ M ≤ 2π \) dan voor \( -π ≤ M ≤ π \), die dezelfde planeetposities opleveren?

Ik probeerde de volgende beginschattingen voor ellipsbanen:

1. Een benadering voor kleine middelbare anomalie (vergelijking \eqref{eq:E1})

   \[ E_1 = \frac{M}{|δ|} \]

2. Een benadering voor middelgrote middelbare anomalie en bijna-parabolische banen (vergelijking \eqref{eq:E2})

   \[ E_1 = (6M)^{1/3} \]

3. Een benadering voor grote middelbare anomalie (vergelijking \eqref{eq:E3})

   \[ E_1 = \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) \]

4. Gebaseerd op een (hopelijk naburige) paraboolbaan

   \begin{align*} W & = \frac{3M\sqrt{2}}{4|δ|^{3/2}} \\ u & = (W + \sqrt{W^2 + 1})^{1/3} \\ τ & = u - \frac{1}{u} \\ E_1 & = 2 \arctan\left( τ\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \right) \end{align*}

5. Gebaseerd op een (hopelijk naburige) paraboolbaan, maar met een aanpassing voor het excentriciteitsverschil

   \begin{align*} W & = \frac{3M\sqrt{2}}{4|δ|^{3/2}}\left( 1 - \frac{|δ|}{4} \right) \\ u & = (W + \sqrt{W^2 + 1})^{1/3} \\ τ & = u - \frac{1}{u} \\ E_1 & = 2 \arctan\left(τ \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\right) \end{align*}

6. Doe één stap met de eerstegraadsmethode

   \[ E_1 = M + e \sin(M) \]

7. Een eenvoudige (nuldegraads-)schatting voor kleine excentriciteit

   \[ E_1 = M \]

8. Een formule gegokt aan de hand van het aanzicht van de grafiek van \( E \) versus \( M \)

   \[ E_1 = M + e \left(1 + \frac{1}{2}e^2 \right) \frac{\sqrt{M} \sqrt{2π - M}}{2\sqrt{π}} \]

9. Nog een formule gegokt aan de hand van het aanzicht van de grafiek van \( E \) versus \( M \)

   \[ E_1 = M + e \left( 1 + \frac{1}{5}e^2 \right) \frac{\sqrt{M} \sqrt{2π - M}}{2\sqrt{π}} \]

De beginschatting die in hoofdstuk 2,1 gebruikt wordt is een combinatie van beginschattingen 1 en 2. Deze combinatie noemen we "beginschatting 0".

5.5. Hyperboolbanen

Voor hyperboolbanen geldt

\[ M = e \sinh E - E \]

dus voor de eerstegraadsbenadering

\begin{align} g(M,E) & = \arsinh\left( \frac{M + E}{e} \right) \\ g'(M,e) & = \frac{1}{\sqrt{e^2 + (M + E)^2}} \end{align}

dus de laatste schatting zal beter zijn dan de vorige als \( \frac{1}{\sqrt{e^2 + (M + E)^2}} \lt 1 \), wat voor hyperboolbanen (met \( e \gt 1 \)) altijd zo is. Echter, als \( e ≈ 1 \) en \( M ≈ E ≈ 0 \) dan is de verbetering per stap maar heel weinig, dus dan neemt het heel veel stappen voor je in de buurt van de oplossing komt, net als voor bijna-parabolische ellipsbanen.

Voor de tweedegraadsbenadering is

\begin{align} f(E) & = e \sinh E - E \\ f'(E) & = e \cosh E - 1 \\ f''(E) & = e \sinh E \end{align}

en

\begin{align} E_{i+1} & = E_i + \frac{M + E_i - e \sinh E_i}{e \cosh(E_i) - 1} \label{eq:hyp1} \\ E_{i+1} & = E_i + \frac{\frac{M + E_i}{e \cosh(E_i)} - \tanh(E_i)}{1 - \frac{1}{e \cosh(E_i)}} \label{eq:hyp2} \\ β & = \left| \frac{2(e \cosh E - 1)}{e \sinh E} \right| \end{align}

waarbij formule \eqref{eq:hyp2} beter is om te gebruiken dan formule \eqref{eq:hyp1}, omdat bij formule \eqref{eq:hyp1} de teller en de noemer van de deling al voor vrij kleine waarden van \( E_i \) te groot worden voor rekenmachines en computerprogramma's, en dan komt er geen bruikbare correctie meer uit. Formule \eqref{eq:hyp2} heeft dat probleem niet, omdat daar de snelstijgende functie alleen maar in noemers voorkomt.

De kleinste waarde van \( β \) wordt bereikt voor \( \cosh(E) = e \); dan is

\[ β = β_{\text{min}} = 2\frac{\sqrt{e^2 - 1}}{e} \]

Voor bijna-parabolische banen met \( e = 1 + δ \) en \( |δ| ≪ 1 \) is \( β_{\text{min}} ≈ \sqrt{2δ} \) voor \( |E| ≈ \sqrt{2δ} \) dus dan moet de beginschatting al erg goed zijn om de oplossing snel te kunnen vinden.

Ik heb verschillende beginschattingen \( E_1 \) geprobeerd, voornamelijk gebaseerd op bovenstaande studie van uiterste benaderingsformules. Voor hyperboolbanen dwing ik \( M \) niet tussen 0 en 2π, want hyperboolbanen herhalen zichzelf niet, dus bij \( M + 2π \) hoort een andere plaats dan bij \( M \).

1. Een schatting voor kleine middelbare anomalie (vergelijking \eqref{eq:E1}), net als voor ellipsbanen

   \[ E_1 = \frac{M}{δ} \]

2. Een schatting voor middelgrote middelbare anomalie en bijna-parabolische banen (vergelijking \eqref{eq:E2}), net als voor ellipsbanen

   \[ E_1 = (6M)^{1/3} \]

3. Een schatting voor grote middelbare anomalie (vergelijking \eqref{eq:E3}), net als voor ellipsbanen

   \[ E_1 = \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) \]

4. Gebaseerd op een (hopelijk naburige) paraboolbaan, net als voor ellipsbanen maar met wat extra manipulaties omdat voor een hyperboolbaan sommige waarden van \( ν \) niet kunnen

   \begin{align*} W & = \sgn(M) \frac{3\sqrt{2}}{4δ^{3/2}} \min\left( |M|, \frac{4}{3} \right) \\ u & = (W + \sqrt{W^2 + 1})^{1/3} \\ τ & = u - \frac{1}{u} \\ τ_2 & = τ \sqrt{\frac{e - 1}{e + 1}} \\ τ_3 & = \sgn(τ_2) \min(|τ_2|, 1) \\ E_1 & = 2 \artanh(τ_3) \end{align*}

5. Gebaseerd op een (hopelijk naburige) paraboolbaan, maar met aanpassing voor het excentriciteitsverschil

   \begin{align*} W & = \sgn(M) \frac{3\sqrt{2}}{4δ^{3/2}} \min\left( |M|\left( 1 + \frac{1}{4}δ \right), \frac{4}{3} \right) \\ u & = (W + \sqrt{W^2 + 1})^{1/3} \\ τ & = u - \frac{1}{u} \\ τ_2 & = τ \sqrt{\frac{e - 1}{e + 1}} \\ τ_3 & = \sgn(τ_2) \min(|τ_2|, 1) \\ E_1 & = 2 \artanh(τ_3) \end{align*}

6. Doe één stap met de eerstegraadsmethode, vanaf de schatting van vergelijking \eqref{eq:E1}

   \[ E_1 = \arsinh\left( \frac{M + \frac{M}{e - 1}}{e} \right) \]

De beginschatting die in hoofdstuk 2,3 gebruikt wordt is een combinatie van beginschattingen 1, 2 en 3. Deze combinatie noemen we "beginschatting 0".

5.6. Resultaten

Ik heb \( τ \) uitgerekend voor een groot aantal combinaties van \( M \) of \( m \) en \( e \), met alle bovenstaande beginschattingen, en heb gemeten hoeveel vervolgschattingen nodig waren om de oplossing te vinden met de hoogst mogelijke nauwkeurigheid, en hoeveel tijd het uitrekenen nam.

Voor \( M \) of \( m \) nam ik de volgende waarden: 0, 10⁻⁹, 10⁻⁸, 10⁻⁷, 10⁻⁶, 10⁻⁵, 0,0001, 0,001, 0,01, 0,02π (3,6°) tot en met 1,98π radialen (356,4°) in stappen van 0,02π (3,6°), en ook 10, 100, 1000, 10000, 10⁵ en 10⁶ radialen. Voor \( e \) nam ik de volgende waarden: 0, 10⁻⁶, 10⁻⁵, 0,0001, 0,001, 0,01 tot en met 0,99 in stappen van 0,01, dan 0,999, 0,9999, 1 − 10⁻⁵, 1 − 10⁻⁶, 1 − 10⁻⁷, 1 − 10⁻⁸, 1 − 10⁻⁹, 1, 1 + 10⁻⁹, 1 + 10⁻⁸, 1 + 10⁻⁷, 1 + 10⁻⁶, 1 + 10⁻⁵, 1,0001, 1,001, dan 1,01 tot en met 2,00 in stappen van 0,01, dan 3, 5, 10, 100, 1000, 10000, 10⁵, 10⁶.

Het gemeten aantal vervolgschattingen zal op een andere computer wel ongeveer hetzelfde zijn, want die hangt voornamelijk af van het gekozen datatype ― hoe meer precisie het datatype toestaat, hoe meer vervolgschattingen nodig zijn om die grotere precisie te bereiken. Ik gebruikte "double precision floating point", ofwel "binary64" volgens de IEEE-754-standaard. De gemeten rekentijd kan op een andere computer heel anders zijn, omdat die ook veel afhangt van de eigenschappen van de computer, zoals van de snelheid van de rekenkern.

Tabel 4 toont een samenvatting van het aantal herhalingen dat nodig is om de oplossing te vinden, als de genoemde anomalieën middelbare anomalieën \( M \) zijn. Tabel 5 toont ook zo'n samenvatting, maar dan als de genoemde anomalieën perifocale anomalieën \( m \) zijn. Tabel 6 combineert beide voorgaande tabellen.

Tabel 4: Herhalingen om de Vergelijking van Kepler op te lossen (middelbare anomalie)

 # 

 % 

 % 

 %

 * 

Tabel 5: Herhalingen om de Vergelijking van Kepler op te lossen (perifocale anomalie)

 # 

 % 

 % 

 %

 * 

Tabel 6: Herhalingen om de Vergelijking van Kepler op te lossen (gecombineerd)

 # 

 % 

 % 

 %

 * 

De kolommen in bovenstaande tabellen geven de volgende informatie:

#

het nummer van de beginschatting in de lijsten die eerder gegeven werd. De rij met "*" ervoor geeft het uitkomsten als je voor elke combinatie van anomalie en excentriciteit de beginschatting met het kleinste aantal herhalingen neemt.

\( X \)

het grootste aantal herhalingen dat nodig was om de vergelijking van Kepler op te lossen ― als zo'n oplossing gevonden werd. Als er "(∞)" voor staat, dan waren er combinaties van de anomalie en excentriciteit waarvoor geen oplossing gevonden werd; het gegeven maximumaantal is dan voor alleen de gevallen waarin een oplossing gevonden werd.

\( μ \)

het gemiddelde aantal herhalingen, voor de gevallen waarin een oplossing gevonden werd.

\( σ \)

de spreiding (standaardafwijking) van het aantal herhalingen, voor de gevallen waarin een oplossing gevonden werd.

%

in hoeveel procent van de gevallen geeft deze beginschatting het kleinste aantal herhalingen van alle geprobeerde beginschattingen?

Na de eerste kolom volgen twee of drie delen die elk vier kolommen hebben. Het deel "Ellips (2π)" geldt voor ellipsbanen (met excentriciteit kleiner dan 1) en is gebaseerd op alle anomalieën die ik eerder noemde, tot voorbij 2π radialen (360°).

Het tweede deel "Ellips (π)" geldt voor ellipsbanen maar is gebaseerd op anomalieën van 0 tot en met π radialen (180°). Voor middelbare anomalieën is het bereik van 0 tot 2π radialen gelijkwaardig met het bereik van -π tot +π radialen, en (ook voor perifocale anomalieën) een berekening voor negatieve anomalie is even gemakkelijk of moeilijk (en geeft dezelfde absolute waarden) als de berekening voor de overeenkomstige positieve anomalie, dus voor middelbare anomalieën (maar niet voor perifocale anomalieën) kun je toe met waarden tot π radialen.

Het derde deel "Hyperbool" geldt voor hyperboolbanen (met excentriciteit groter dan 1) en voor alle anomalieën die ik eerder noemde.

Bijvoorbeeld: Beginschatting nummer 4 uit tabel 4 had voor ellipsbanen ten hoogste 9 herhalingen nodig om de oplossing te vinden, als alle anomalieën in acht worden genomen. Het gemiddelde aantal herhalingen was 5,6, met een spreiding van 1,4. In 8% van de gevallen was er geen beginschatting die minder herhalingen nam dan beginschatting 4.

Fig. 1: Herhalingen om de Vergelijking van Kepler op te lossen (middelbare anomalie)

Fig. 2: Herhalingen om de Vergelijking van Kepler op te lossen (perifocale anomalie)

Figuur 1 toont hoeveel schattingen nodig waren om de oplossing te vinden voor vaste middelbare anomalieën, voor de verschillende beginschattingen (aangegeven door het nummer rechts onder naast elk plaatje), en is verbonden met tabel 4. Zwart betekent 1 schatting, wit betekent 15 of meer schattingen, en grijstinten geven tussengelegen aantallen aan. In elk plaatje neemt van links naar rechts de excentriciteit toe, en van onder naar boven neemt de middelbare anomalie toe. De zwarte vertikale lijn ongeveer in het midden is voor excentriciteit 1 (de paraboolbaan), waarvoor altijd maar één "schatting" nodig is. Het linkerdeel van elk plaatje is voor ellipsbanen (excentriciteit kleiner dan 1) en het rechterdeel voor hyperboolbanen (excentriciteit groter dan 1).

Figuur 2 toont op soortgelijke manier het aantal schattingen voor vaste perifocale anomalie (net als tabel 5).

Een plaatje zoals figuren 1 en 2 maar dan voor de rekentijd in plaats van voor het aantal herhalingen lijkt op het overeenkomstige plaatje voor het aantal herhalingen, maar dan met flink meer ruis erop.

De rekentijd die nodig was om de oplossingen te vinden toont een verloop dat in het algemeen proportioneel is aan het aantal herhaling dat nodig was: hoe meer herhalingen, hoe meer tijd. Echter, het blijkt dat op mijn computersysteem met mijn bron van de \( \tan \)-functie (glibc 2,17) het uitrekenen van \( \tan(x) \) voor \( x \) gelijk aan \( \frac{1}{2}π \) radialen (90°) honderden keren meer tijd neemt dan voor andere waarden van \( x \). De typische rekentijd (voor het uitrekenen van \( \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \) uit \( M \) en \( e \)) was ongeveer 0,5 μs, maar de grootste rekentijd was ongeveer 200 μs. Er zijn soortgelijke maar minder grote afwijkingen voor bepaalde andere combinaties van \( M \) en \( e \). Als de hoeveelheid rekentijd heel belangrijk voor je is, dan is het goed om zelf een rekenexperiment te doen zoals ik deed, om te zien of er vreemde gevallen bij zijn die je niet zou verwachten als je alleen naar het aantal herhalingen kijkt.

We zien dat beginschattingen 0, 2, 4 en 5 voor ellipsbanen (voor de gekozen anomaliën) altijd een oplossing geven, maar de andere beginschattingen niet altijd. Dat is niet zo vreemd, want die beginschattingen zijn speciaal bedoeld voor bijna-parabolische banen en dat zijn juist de moeilijkste gevallen waarvoor het belangrijk is dat de beginschatting al vrij goed is.

Als we onszelf beperken tot anomaliën niet groter dan π radialen (180°), dan geeft beginschatting 1 zeker een oplossing voor \( e ≤ 0,49 \), beginschattingen 3 voor \( e ≤ 0,99 \) of \( |M| ≥ 10,8° \), beginschatting 6 voor \( e ≤ 0,99 \) of \( |M| ≥ 7,2° \), en beginschatting 7 voor \( e ≤ 0,97 \) of \( |M| ≥ 28,8° \). Beginschattingen 8 en 9 gaven voor de gekozen anomaliën (niet groter dan π radialen) altijd een oplossing, maar voor de combinaties van \( M \) en \( e \) waarvoor beginschattingen 3, 6 en 7 geen oplossing vinden hebben beginschattingen 8 en 9 ook duidelijk meer herhalingen nodig, dus lijkt het verstandig om voor beginschattingen 8 en 9 dat gebied ook te mijden.

Beginschattingen 2, 4 en 5 ontlopen elkaar niet veel wat betreft het aantal herhalingen dat nodig is, en beginschatting 0 neemt gemiddeld ongeveer 10% minder herhalingen. Als we kijken naar de rekentijd dan zijn beginschattingen 0 en 2 beter dan beginschattingen 4 en 5, omdat de berekening van beginschattingen 0 en 2 eenvoudiger zijn dan van beginschattingen 4 en 5 en daarom minder tijd kost.

Bekeken aan de hand van het aantal herhalingen is voor hyperboolbanen beginschatting 4 gemiddeld het beste, op de voet gevolgd door beginschattingen 5 en 0. Bekeken aan de hand van de rekentijd zijn beginschattingen 0 en 2 beter dan 4 en 5, net als voor ellipsbanen.

6. Afleiding van de benaderingsformules

We definiëren

\begin{align} δ & ≡ e - 1 \\ f & ≡ \sqrt{\left| \frac{1 + e}{1 - e} \right|} \\ τ & ≡ \tan\left( \frac{1}{2}ν \right) \\ σ & ≡ \frac{τ}{f} \end{align}

waarin \( e \) de excentriciteit is en \( ν \) de ware anomalie. \( δ \) geeft aan hoe ver weg de vorm van de baan van een parabool is. \( τ \) is een maat voor de positie van het hemellichaam in zijn baan, net als \( ν \). Als \( ν \) groeit van −π tot +π radialen, dan groeit \( τ \) van −∞ tot +∞.

Voor \( f \) vinden we de benaderingen

\begin{align*} e \ll 1 & ⇒ f ≈ 1 + e \\ |δ| \ll 1 & ⇒ f ≈ \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \\ e \gg 1 & ⇒ f ≈ 1 + \frac{1}{e} \end{align*}

Voor \( τ \) vinden we de benaderingen

\begin{align} |ν| \ll 1 & ⇒ τ ≈ \frac{1}{2}ν \\ ν ≈ ±π + ∆ν & ⇒ τ ≈ -\frac{2}{∆ν} \end{align}

mits \( ν \) gemeten wordt in radialen. Andersom

\begin{align} |τ| \ll 1 & ⇒ ν ≈ 2τ \\ |τ| \gg 1 & ⇒ ν ≈ π\sgn(τ) - \frac{2}{τ} \end{align}

Meer in het algemeen,

\begin{equation} \tan\left( \frac{1}{2}(ν + ∆ν) \right) ≈ τ + \frac{1}{2}(1 + τ^2) ∆ν \end{equation}

Gegeven \( e \), \( τ \) en perifocusafstand \( q \), geldt voor de afstand \( r \) tot het zwaartepunt van de baan, en voor de rechthoekige coördinaten \( x \) en \( y \)

\begin{align} ρ & ≡ \frac{1 + e}{1 + e + (1 - e)τ^2} = \frac{1}{1 - \left(\frac{τ}{f}\right)^2\sgn(δ)} = \frac{1}{1 - σ^2\sgn(δ)} \\ r & = (1 + τ^2) qρ = q \frac{1 + τ^2}{1 - σ^2\sgn(δ)} \\ x & = (1 - τ^2) qρ = q \frac{1 - τ^2}{1 - σ^2\sgn(δ)} \\ y & = 2τ qρ = q \frac{2τ}{1 - σ^2\sgn(δ)} \end{align}

Als \( |δ| \ll 1 \), dan \( e ≈ 1 \) en dan vinden we de benaderingen

\begin{align} ρ & ≈ 1 + \frac{1}{2}δτ^2 \\ r & ≈ q\left( 1 + τ^2 + \frac{1}{2}δτ^2(1 + τ^2) \right) \\ x & ≈ q\left( 1 - τ^2 + \frac{1}{2}δτ^2(1 - τ^2) \right) \\ y & ≈ 2qτ\left( 1 + \frac{1}{2}δτ^2 \right) \end{align}

Als \( |σ| \ll 1 \), dan vinden we de benaderingen

\begin{align} ρ & ≈ 1 + σ^2\sgn(δ) \\ r & ≈ q(1 + σ^2(\sgn(δ) + f^2)) \\ x & ≈ q(1 + σ^2(\sgn(δ) - f^2)) \\ y & ≈ 2qfσ(1 + σ^2\sgn(δ)) \end{align}

Als \( |σ| = 1 - ∆σ ≈ 1 \) en \( 0 ≤ ∆σ \ll 1 \) en \( δ \gt 0 \) (dus voor hyperboolbanen) dan vinden we de benaderingen

\begin{align} ρ & ≈ \frac{1}{2∆σ} \\ r & ≈ q\frac{1 + f^2}{2∆σ} \\ x & ≈ q\frac{1 - f^2}{2∆σ} \\ y & ≈ q\frac{f}{∆σ}\sgn(σ) \end{align}

We leiden benaderingsformules af door aannames te doen over hoe groot \( E \) en \( e \) zijn, maar willen uiteindelijk formules hebben van \( m \) of \( M \) naar \( E \) in plaats van andersom. Als we een benaderingsformule gevonden hebben voor een bepaald bereik van \( E \) en \( e \), dan rekenen we dat bereik van \( E \) om naar het overeenkomstige bereik van \( m \) of \( M \). Ter herinnering:

\begin{align} m & = \frac{M}{|δ|^{3/2}} \\ M & = m |δ|^{3/2} \end{align}

6.1. Kleine excentrische anomalie

De vergelijking van Kepler voor ellipsbanen is

\begin{equation} M = E - e \sin(E) \end{equation}

Als \( |E| ≪ 1 \), dan geldt

\begin{equation} \sin(E) ≈ E - \frac{1}{6}E^3 \end{equation}

dus

\begin{equation} M ≈ E - e \left( E - \frac{1}{6} E^3 \right) = E |δ| + \frac{1}{6}eE^3 \end{equation}

De vergelijking van Kepler voor hyperboolbanen is

\begin{equation} M = e \sinh(E) - E \end{equation}

Als \( |E| ≪ 1 \) dan geldt

\begin{equation} \sinh(E) ≈ E + \frac{1}{6}E^3 \end{equation}

dus

\begin{equation} M ≈ e \left( E + \frac{1}{6} E^3 \right) - E = E |δ| + \frac{1}{6}eE^3 \label{eq:keplersmallE}\end{equation}

net als voor ellipsbanen.

Aan de rechterzijde van de laatste vergelijking kan de eerste term groter dan, gelijk aan, of kleiner dan de tweede term zijn. Als \( E \) voldoende klein is dan zal de eerste term domineren, en anders de tweede term. Het omslagpunt ligt bij

\begin{equation} E|δ| = \frac{1}{6}eE^3 ⇔ \frac{6|δ|}{e} = E^2 ⇔ |E| = \sqrt{\frac{6|δ|}{e}} ≈ \sqrt{\frac{|δ|}{e}} \end{equation}

6.2. Voor hele kleine excentrische anomalie

Als \( E ≪ \sqrt{\frac{|δ|}{e}} \) dan domineert de eerste term aan de rechterzijde van vergelijking \eqref{eq:keplersmallE}, dus

\begin{equation} M ≈ E |δ| ⇔ E ≈ \frac{M}{|δ|} \label{eq:MEverysmall} \end{equation}

Welk bereik van \( M \) komt hiermee overeen? Als \( |E| ≪ \sqrt{\frac{|δ|}{e}} \) dan

\begin{equation} M ≈ E |δ| ≪ \sqrt{\frac{|δ|}{e}} |δ| = \sqrt{\frac{|δ|^3}{e}} \end{equation}

Bovendien namen we aan \( |E| ≪ 1 \), dus ook

\begin{equation} M ≈ E |δ| ≪ |δ| \end{equation}

Dus vergelijking \eqref{eq:MEverysmall} is een redelijke benadering als \( |M| \ll |δ| \) en \( |M| \ll \sqrt{\frac{|δ|^3}{e}} \). Voor \( e \lt \frac{1}{2} \) is de eerste beperking het sterkst, en anders de tweede. Voor een bijna-cirkelbaan (\( e \ll 1 \)) moet gelden \( |M| \ll 1 \). Voor een bijna-paraboolbaan (\( |δ| \ll 1 \)) moet gelden \( |M| \ll |δ|^{3/2} \). Voor een sterk hyperbolische baan (\( e \gg 1 \)) moet gelden \( |M| \ll e \). Een bruikbaar alternatief voor alle \( e \) is

\begin{equation} |M| \ll \frac{|δ|^{3/2} \left( 1 + |δ|^{3/2} \right) }{1 + δ^2} = \frac{|δ|^{3/2} + |δ|^3}{1 + δ^2} \end{equation}

Voor ellipsbanen geldt

\begin{equation} τ = f\tan\left( \frac{1}{2}E \right) \label{eq:τe} \end{equation}

en voor hyperboolbanen geldt

\begin{equation} τ = f\tanh\left( \frac{1}{2}E \right) \label{eq:τh} \end{equation}

Omdat \( |E| \ll 1 \), is ook

\[ \tan\left( \frac{1}{2}E \right) ≈ \tanh\left( \frac{1}{2}E \right) ≈ \frac{1}{2}E \]

en dat is veel kleiner dan 1. We vinden

\begin{align} τ & ≈ \frac{fM}{2|δ|} \\ σ & ≈ \frac{M}{2|δ|} \end{align}

en \( |τ| \ll 1 \) en \( |σ| \ll \frac{1}{f} \).

6.3. Voor middelmatig kleine excentrische anomalie

Als \( \sqrt{\frac{|δ|}{e}} ≪ |E| ≪ 1 \), dan domineert de tweede term aan de rechterzijde van vergelijking \eqref{eq:keplersmallE}, dus

\begin{equation} M ≈ \frac{1}{6} eE^3 ⇔ E ≈ \left( \frac{6M}{e} \right)^{1/3} \end{equation}

Als \( \sqrt{\frac{|δ|}{e}} ≪ E ≪ 1 \), dan ook

\begin{equation} \sqrt{\frac{|δ|}{e}} ≪ 1 ⇔ |δ| ≪ e \end{equation}

en dat kan alleen als \( e ≈ 1 \), dus dit geval is alleen relevant voor bijna-parabolische banen, en dan is

\begin{equation} E ≈ (6M)^{1/3} \end{equation}

Welk bereik van \( M \) komt hiermee overeen? Als \( \sqrt{\frac{|δ|}{e}} ≪ |E| ≪ 1 \) en \( |δ| ≪ 1 \) en \( e ≈ 1 \), dan

\begin{equation} |δ|^{3/2} \ll |M| \ll 1 \end{equation}

Omdat \( |E| \ll 1 \), is

\[ \tan\left( \frac{1}{2}E \right) ≈ \tanh\left( \frac{1}{2}E \right) ≈ \frac{1}{2} E \]

dus

\begin{align} τ & ≈ \frac{1}{2}fE ≈ \frac{1}{2}f(6M)^{1/3} = f \left( \frac{3}{4}M \right)^{1/3} \\ σ & = \frac{τ}{f} ≈ \left( \frac{3}{4}M \right)^{1/3} \end{align}

en \( \sqrt{|δ|} \ll |σ| \ll 1 \) en \( f\sqrt{|δ|} \ll |τ| \ll f \).

6.4. Voor grote excentrische anomalie

Voor ellipsbanen is het geval \( |E| ≫ 1 \) niet van belang, omdat voor een ellipsbaan alle posities zich steeds weer herhalen, en je weer dezelfde positie vindt als je bij \( E \) een willekeurig veelvoud van 2π radialen optelt. Voor hyperboolbanen is het geval \( |E| ≫ 1 \) wel van belang, omdat voor een hyperboolbaan de posities zich niet herhalen. We kijken hier alleen naar hyperboolbanen (met \( e \gt 1 \)).

Als \( |E| \gg 1 \) dan geldt

\begin{equation} \sinh(E) ≈ \frac{1}{2} \sgn(E) \exp(|E|) \end{equation}

wat veel groter is dan \( E \) zelf, dus

\begin{equation} M ≈ \frac{1}{2}e\sgn(E)\exp(|E|) ⇔ E ≈ \sgn(M)\log\left( \frac{2|M|}{e} \right) \end{equation}

Bovenstaande benadering is geldig als \( |E| \gg 1 \) dus als \( |M| \gg e \), maar zouden we ook wel voor kleine \( E \) willen gebruiken als dat zo uitkomt. Dan is het ongewenst dat voor \( |M| \lt \frac{1}{2}e \) de berekende waarde van \( E \) niet hetzelfde teken heeft als \( M \), terwijl dat in het echt wel altijd zo is. Waar nodig verhelpen we dat door 1 op te tellen bij de waarde die we in de log-functie stoppen:

\[ E ≈ \sgn(M) \log\left( 1 + \frac{2|M|}{e} \right) \]

Dat maakt geen merkbaar verschil als \( |E| \gg 1 \) (waarvoor de benadering werd afgeleid), maar zorgt er wel voor dat \( E \) altijd hetzelfde teken krijgt als \( M \).

Voor hyperboolbanen geldt

\begin{equation} τ = f\tanh\left( \frac{1}{2}E \right) \end{equation}

Als \( |E| \gg 1 \) dan

\begin{equation} \tanh\left( \frac{1}{2}E \right) ≈ \sgn(E)(1 - 2\exp(-|E|)) \end{equation}

dus

\begin{align} τ & = f\tanh\left( \frac{1}{2}E \right) \notag \\ & ≈ f \sgn(E) (1 - 2\exp(-|E|)) \notag \\ & ≈ f \sgn(M) \left( 1 - 2\exp\left( -\log\left( \frac{2|M|}{e} \right) \right) \right) \notag \\ & = f \sgn(M) \left( 1 - \frac{e}{|M|} \right) \\ σ & ≈ \sgn(M) \left( 1 - \frac{e}{|M|} \right) \end{align}

dus als \( M \) steeds groter wordt dan komt \( |τ| \) steeds dichter bij \( f \) en \( |σ| \) steeds dichter bij 1. Dit komt overeen met de asymptoot van de hyperbool.

6.5. Samenvatting

(\( ∧ \) betekent "en"; \( ⇒ \) betekent "dan".)

We onderscheiden drie geldigheidsgebieden:

\begin{align} Ⅰ & : |M| \ll |δ| ∧ |M| \ll |δ|^{3/2} \\ Ⅱ & : |δ|^{3/2} \ll |M| \ll e ≈ 1 \\ Ⅲ & : |M| \gg e \gt 1 \end{align}

Gebied Ⅰ is het "cirkelbaangebied": daarin lijkt de baan op een cirkelbaan. Net zo is gebied Ⅱ het "paraboolbaangebied", en gebied Ⅲ het "hyperboolbaangebied".

We vonden voor \( σ \) in de drie gebieden

\begin{align} Ⅰ & ⇒ σ ≈ \frac{M}{2|δ|} & ∧ & |σ| \ll 1 ∧ |σ| \ll \sqrt{|δ|} \\ Ⅱ & ⇒ σ ≈ \left( \frac{3}{4}M \right)^{1/3} & ∧ & \sqrt{|δ|} \ll |σ| \ll 1 \\ Ⅲ & ⇒ σ ≈ \sgn(M) \left( 1 - \frac{e}{|M|} \right) & ∧ & |σ| ≈ 1 \end{align}

en \( τ = fσ \) per definitie.

6.6. Bijna-cirkelbaan

Voor een bijna-cirkelbaan is \( e \ll 1 \). Dan is \( δ ≈ 1 \) en \( f ≈ 1 + e \). Dan is alleen geldigheidsgebied Ⅰ van toepassing, en daarin geldt \( |M| \ll 1 \) en

\begin{align} σ & ≈ \frac{1}{2}M(1+e) & ∧ & |σ| \ll 1 \\ τ & ≈ \frac{1}{2}M(1+2e) & ∧ & |τ| \ll 1 \\ ν & ≈ M(1+2e) & ∧ & |ν| \ll 1 \end{align}

6.7. Bijna-paraboolbaan

Voor een bijna-paraboolbaan is \( e ≈ 1 \) en \( |δ| \ll 1 \) en \( f ≈ \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \). Dan zijn gebieden Ⅰ en Ⅱ van toepassing. Voor een hyperbolische bijna-paraboolbaan (\( e ≈ 1 ∧ e \gt 1 \)) is bovendien gebied Ⅲ van toepassing.

Voor gebied Ⅰ vinden we

\begin{align} σ & ≈ \frac{M}{2|δ|} & ∧ & |σ| \ll \sqrt{|δ|} \\ τ & ≈ \frac{M}{\sqrt{2}|δ|^{3/2}} & ∧ & |τ| \ll 1 \\ ν & = \frac{M\sqrt{2}}{|δ|^{3/2}} & ∧ & |ν| \ll 1 \end{align}

Voor gebied Ⅱ vinden we

\begin{align} σ & ≈ \left( \frac{3}{4}M \right)^{1/3} & ∧ & \sqrt{|δ|} \ll |σ| \ll 1 \\ τ & ≈ \sqrt{\frac{2}{|δ|}}\left( \frac{3}{4}M \right)^{1/3} & ∧ & 1 \ll |τ| \ll \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \\ ν & ≈ \sgn(τ) \left( π - \frac{2}{|τ|} \right) & ∧ & π - \sqrt{|δ|} \ll |ν| \ll π \end{align}

Voor gebied Ⅲ (alleen voor hyperboolbanen) vinden we

\begin{align} σ & ≈ \sgn(M) \left( 1 - \frac{1}{|M|} \right) & ∧ & |δ| \ll |σ| \lt 1 \\ τ & ≈ \sgn(M) \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \left( 1 - \frac{1}{|M|} \right) & ≈ & \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \\ ν & ≈ ν_∞ \sgn(τ) \left( 1 - \frac{2}{|τ|} \right) & ≈ & ν_∞ \sgn(τ) \\ ν_∞ & ≈ \sgn(τ) \left( π - \sqrt{2|δ|} \right) & ≈ & π \end{align}

Voor een gegeven waarde van \( M \) (\( |M| \ll 1 \)) wordt \( τ \) steeds groter als \( δ \) steeds dichter bij nul komt; als \( δ = 0 \) (voor een paraboolbaan) dan is \( τ \) oneindig groot geworden. Dat betekent dat \( M \) voor een paraboolbaan geen betekenis heeft, en voor een bijna-paraboolbaan weinig betekenis heeft. Er is een goed alternatief.

Het verband tussen tijd \( t \) en middelbare anomalie \( M \) is

\begin{equation} M = t \sqrt{\frac{Γ}{a^3}} \end{equation}

Omdat \( q = a|1 - e| = a|δ| \) is ook \( a = \frac{q}{|δ|} \) dus

\begin{align} M & = t \sqrt{\frac{Γ}{q^3}} |δ|^{3/2} \\ m & ≡ \frac{M}{|δ|^{3/2}} = t \sqrt{\frac{Γ}{q^3}} \end{align}

Ik noem \( m \) de perifocale anomalie. Voor een baan met een gegeven perifocusafstand \( q \) hangt de perifocale anomalie \( m \) wel af van de tijd maar niet van \( δ \), van hoeveel de baan op een paraboolbaan lijkt. In termen van perifocale anomalie \( m \) zijn de geldigheidsgebieden voor bijna-paraboolbanen:

\begin{align} Ⅰ & : |m| \ll 1 \\ Ⅱ & : 1 \ll |m| \ll \frac{1}{|δ|^{3/2}} \\ Ⅲ & : |m| \gg \frac{1}{|δ|^{3/2}} ∧ e \gt 1 \end{align}

en zijn de benaderingen voor \( τ \):

\begin{align} Ⅰ & : \frac{m}{\sqrt{2}} & ∧ & |τ| \ll 1 \\ Ⅱ & : \frac{(6m)^{1/3}}{\sqrt{2}} & ∧ & |τ| \gg 1 \\ Ⅲ & : \sgn(m) \sqrt{\frac{2}{|δ|}} \left( 1 - \frac{1}{|m||δ|^{3/2}} \right) & ∧ & |τ| \gg 1 \end{align}

Als \( δ \) steeds dichter bij nul komt dan schuift de grens tussen geldigheidsgebieden Ⅱ en Ⅲ naar steeds grotere waarden van \( m \), om voor \( δ \) gelijk aan nul te verdwijnen in het oneindige.

Dit sluit mooi aan bij de preciese formules voor de paraboolbaan (met \( e = 1 \)). Daarmee kunnen we \( τ \) precies uitrekenen, maar het is niet gemakkelijk om te zien hoe die formules zich gedragen voor hele kleine of juist hele grote anomalie. We leiden voor die gevallen benaderingen af.

\begin{align} W & ≡ t \sqrt{\frac{9Γ}{8q^3}} = \sqrt{\frac{9}{8}} m = \frac{3\sqrt{2}}{4} m \\ |W| \ll 1 & ⇒ τ ≈ \frac{2}{3}W = \frac{m}{\sqrt{2}} \\ |W| \gg 1 & ⇒ τ ≈ (2W)^{1/3} = \frac{(6m)^{1/3}}{\sqrt{2}} \end{align}

dus dezelfde benaderingsformules die we ook voor bijna-paraboolbanen vonden. Bijna-paraboolbanen gaan dus naadloos over in een echte paraboolbaan als \( δ \) steeds kleiner en uiteindelijk gelijk aan 0 wordt.

6.8. Sterk hyperbolische baan

Voor een sterk hyperbolische baan is \( e \gg 1 \) en \( f ≈ 1 + \frac{1}{e} \). Dan zijn alleen geldigheidsgebieden Ⅰ en Ⅲ van toepassing. Voor gebied Ⅰ vinden we

\begin{align} σ & ≈ \frac{M}{2|δ|} ≈ \frac{M}{2e} & ∧ & |σ| \ll 1 \\ τ & ≈ \frac{M}{2e} \left( 1 + \frac{1}{e} \right) & ∧ & |τ| \ll 1 \\ ν & ≈ \frac{M}{e} \left( 1 + \frac{1}{e} \right) & ∧ & |ν| \ll 1 \end{align}

Voor gebied Ⅲ vinden we

\begin{align} σ & ≈ \sgn(M) \left( 1 - \frac{e}{|M|} \right) & ∧ & |σ| ≈ 1 \\ τ & ≈ \sgn(M) \left( 1 + \frac{1}{e} - \frac{e}{|M|} \right) & ∧ & |τ| ≈ 1 \\ ν & ≈ \sgn(M) \left( π - \frac{2}{1 + \frac{1}{e} - \frac{e}{|M|}} \right) & ∧ & |ν| ≈ π \end{align}

talen: [en] [nl]

http://aa.quae.nl/nl/reken/kepler.html;
Laatst vernieuwd: 2016−02−07